5.ročník
Milí piataci , určite aj k Vám sa donieslo , že v školstve postupne prichádzajú zmeny . Na hodinách matematiky ste určite zistili, že pridávame nové metódy, hry a iné hodiny . V prípade ak by ste chceli rodičom ukázať, čo robíme alebo ak budete chýbať a chcete nájsť čo robíme a nestratiť ani jednu novú vec ponúkam Vám túto možnosť.
V dokumentoch nájdete opis prostredia z Hejného matematiky v ktorom sme sa učili matematické operácie alebo postupy poťítania.
Čo nás čaká v jesenných mesiacoch?
|
1. cieľ september , október - 40 hodín Pracovať s prirodzenými číslami, zlomkami, desatinnými číslami a s celými zápornými číslami pri riešení úloh a problémov.
|
1. Rozširovanie oboru prirodzených čísel Pojmy Aktívne: zaokrúhľovanie, zaokrúhľovanie nahor a nadol, približne, presne. Pasívne: rozklad čísel; rád číslice a čísla; opačné čísla; odhad, záporné a kladné celé číslo. 2. Základy práce so zlomkami Pojmy Aktívne: zlomok, zlomková čiara, čitateľ, menovateľ. 3. Základy práce s desatinnými číslami Pojmy Aktívne: desatinné číslo, desatinná čiarka, desatinné miesto.
|
|
2. cieľ
Analyzovať, opísať a uplatniť pravidlá vo vzoroch a postupnostiach a riešiť praktické úlohy s využitím závislostí medzi veličinami alebo využitím vzťahov medzi rôznymi jednotkami miery.
|
4. Číselné výrazy a jednoduché rovnice a nerovnice v riešení úloh Pojmy Aktívne: súčet, sčítanec, rozdiel, menšenec, menšiteľ; súčin, činiteľ, podiel, delenec, deliteľ, zvyšok. Pasívne: neúplný podiel, neznáma. Závislosti, vzťahy a práca s údajmi 1. Práca so vzormi a postupnosťami Pojmy Aktívne: pravidlo. Pasívne: vzor, postupnosť čísel. 2. Rozšírené nástroje na prácu so závislosťami a vzťahmi Pojmy Aktívne: súčet, rozdiel, súčin, podiel, "o _ viac/menej", "_‐krát viac/menej", "_násobok", hmotnosť, gram, dekagram, kilogram, tona; objem, mililiter, deciliter, liter. Pasívne: číselný výraz.
|
|
1 písomná práca |
Témy: veľké čísla, porovnávanie, zaokrúhľovanie, rímske čísla, eurá, zlomky, sšítanie odčítanie, násobenie, delenie prevody jednotiek, Hejného rovnice |
Steppping je aktivita (hra), v ktorej sa rozvíja nielen schopnosť počítať, pretože toto prostredie je založené na rytme. Tu dieťa rozvíja schopnosť synchronizovať slovo a pohyb. Okrem toho sa dieťa učí sčítať, odčítať, rovnice a absolútnu hodnotu. Otvára sa tu svet záporných čísel.
Materská škola
Základom počítania je rytmus. Spievame a tlieskame do rytmu. Napríklad "Paci – paci – pačič – ky, – to – are – mine – ručič – ky".
Potom pridáme chôdzu. Rodičia skandujú a tlieskajú, dieťa kráča do rytmu. Ak existuje priateľ, obaja vykročia vpred. Na zem položíme šliapací pás a deti naň stúpia.
Keď sme dobrí v krokovaní, začíname s pridaním. Na začiatku pásma stoja Eva a Adam vedľa seba (v prípade núdze hrá jeho babička). Mama prikazuje: "Eva, dva kroky a potom jeden krok, začnite hneď!" Eva urobí krok, všetci tlieskajú a počítajú: "Jeden, dva. Jeden." Mama sa pýta, koľko krokov musí Adam urobiť, aby sa opäť postavil vedľa Evy. Dieťa povie "tri" a matka prikáže: "Adam, urob tri kroky, začni hneď!" Chlapec odíde, všetci sa počítajú a tlieskajú. Deti stoja vedľa seba, problém sme vyriešili.
Iné úlohy sú náročnejšie a potom prichádzajú kroky späť. Napríklad: "Eva, urob dva kroky vpred, potom jeden dozadu a potom dva dopredu."
Keď dieťa vykročí "jeden krok vpred, potom tri kroky dozadu a potom štyri vpred", začne budovať chápanie záporných čísel. Ak má dieťa záujem o krok, naše vyučovanie je úspešné.
1. a 2. ročník
Pokračujeme v čoraz náročnejších príkazoch. "Urobte päť krokov vpred, štyri kroky späť, dva kroky vpred, tri kroky späť, jeden krok späť, začnite teraz." Takýto príkaz je už veľmi komplikovaný. Študent si to musí zapísať. Zápisy žiakov budú odlišné a niekto objaví písmo pomocou šípok. Potom si zapíšeme dlhý príkaz.
| →→→→→ | ←←←← | →→ | ←←← | ← |
Eva dostane tento príkaz a my sa pýtame: "Aký jednoduchý príkaz mám dať Adamovi, aby opäť stál vedľa Evy?" Pomocou šípok to zapíšeme.
| →→→→→ | ←←←← | →→ | ←←← | ← | =
Pomocou čísel napíšeme úlohu 5 – 4 + 2 – 3 – 1 = __.
Riešenie problému je | ← |, t. j. –1.
Podobne aj úloha | → || ←← | = | →→ | Môžeme napísať 1 + __ – 2 = 2.
Jeho riešenie je | →→→ |, t. j. 3.
Úloha 1:
a) →→→→ | ←←← | = ||
b) →→→→ || = | →→ |
c) → || ←←← | = | →→ |
d) →→→ | ←← | = | →→ ||
3. a 4. ročník
Pomocou počtu predmetov nemôžete získať záporné čísla. Úloha "Mám dve jablká, zjedol som tri, koľko mi zostáva?" je absurdná. Keď však úlohu preložíme do jazyka krokov, nevzniká žiadny problém.
Úloha má riešenie | →→ | ←←← | = || Moje riešenie | ← |, teda –1. V algebre jazyk: 2 - 3 = x, takže x = –1.
Krok umožňuje študentovi pochopiť záporné čísla. Dokonca aj náročný výraz "mínus pred zátvorkou". Rozumie sa to "smerom dozadu" (ČV = ↺).
Napríklad výraz 3 - (2 - 1) preložíme na šípky: | →→→ | ↺ | →→ | ← | ↺ |
Vhodný príkaz je: "Urobte tri kroky vpred, tvárou dozadu, dva kroky vpred, jeden krok späť, tvárou dozadu." Ak bol študent na začiatku otočený k dverám, urobí tri kroky k dverám, potom otočený dozadu, potom dva kroky od dverí, potom krok späť k dverám a nakoniec otočený späť (toto je koniec zátvorky). Teda, | →→→ | ↺ | →→ | ← | ↺ | = | →→ |
5. a 6. ročník
Ďalším náročným matematickým konceptom, ktorý možno ilustrovať krokom, je absolútna hodnota. Adam stojí na bežiacom páse, Eva o krok pred Adamom. Našou úlohou je dať im také príkazy, aby spolu urobili 5 krokov a nakoniec obaja stoja na rovnakom poli. Ako budeme rozkazovať? Úloha má dve riešenia:
Prvý: "Adam, urob tri kroky vpred, Eva, urob dva kroky vpred, začni hneď!"
Po druhé: "Adam, urob dva kroky späť, Eva, urob tri kroky späť, začni hneď!"
Algebraický zápis problému je: x = y + 1, |x| + |y| = 5 Ak by sme očíslovali bežiaci pás, prešli by sme do ďalšieho prostredia – Schody. Adam stál na kroku 0, Eva na kroku 1. Pri prvom riešení by sa obaja stretli v kroku číslo 3, pri druhom riešení v kroku číslo -2.
Video krokovanie : KROKOVANIE - matematika Hejného metódou - YouTube
Online řešení úloh: Krokování (matika.in)
Online riešenie problémov: Krok (matika.in)
V Európe sa rímske číslice používali ešte v 16. storočí predtým, ako Arabi zaviedli indický spôsob písania čísel, ktorý sa ukázal byť výrazne efektívnejší z dvoch dôvodov:
Podstatou indického zápisu čísla je, že rovnaká číslica predstavuje inú hodnotu podľa pozície v čísle. Napríklad číslo 2 v čísle 2 111 predstavuje 2 000, v čísle 1 211 predstavuje 200, v čísle 1 121 predstavuje 20 a v čísle 1 112 predstavuje 2. Žiak v treťom ročníku je už schopný pracovať s trojcifernými číslami, ale neuvedomuje si podstatu pozičného systému. Úlohy z prostredia Kamene sa snažia otvoriť žiakovi prvé pochopenie pozičného systému.
3. a 4. ročník
Najprv sa žiaci oboznámia s naším nástrojom. Čítajú čísla vytvorené kameňmi a používajú kamene na vytvorenie čísel, ktoré hovorí učiteľ alebo spolužiak. Situácia je znázornená na obrázku v úlohe 1.
Úloha 1:
Žiaci majú pripravené pomôcky (napr. pokladničky s tromi priehradkami, papier s daným stolom a pod. a tri predmety – napr. gaštany, viečka, kamene, ...). Potom pomocou tabuľky a troch kameňov tvoria rôzne čísla. Žiaci tak pracujú s vizuálnym znázornením čísla, v ktorom sú zdôraznené poradia čísel. Vytvorením čísla si uvedomia hodnotu na jeho pozícii v zápise. Pracujú teda so zápisom čísla v pozičnej desiatkovej sústave. Hľadaním všetkých riešení sa dostávame do oblasti kombinatoriky a práce s dátami. Žiaci pravdepodobne vyriešia problém náhodným zostavením čísel, niektorí ešte systematickejšie. Ako sa však ubezpečia, že ich zoznam riešení je úplný a že sa neopakuje žiadne číslo? Musia nejako usporiadať množinu čísel. Napríklad podľa veľkosti. Je zaujímavé porovnať rôzne riešenia a opýtať sa, ktorému spôsobu nájdenia všetkých možností žiaci najlepšie rozumejú. Je možné zadať úlohy s väčším počtom kameňov alebo pridať tisíce do tabuľky. Niektorí žiaci zlepšujú svoje výskumné stratégie a volia systematickejšie prístupy. Tieto budú zdieľané s triedou v diskusii.
Úloha 2:
Je veľmi pravdepodobné, že študenti zistia, že počet kameňov na modelovanie čísla je určený súčtom číslic tohto čísla. To otvára myšlienku číselného súčtu, ktorý budeme neskôr potrebovať pre problémy s deliteľnosťou.
Tu môžete vytvoriť ešte sofistikovanejšie úlohy, napríklad: na modelovanie čísla a je potrebných 7 kameňov. Na modelovanie čísla b je potrebných 6 kameňov. Na modelovanie čísla A + B sú potrebné 4 kamene. Nájdite čísla a, b.
Úloha 3:
Pridáme podmienku s číselným súčtom, ale formulujeme ju v prijateľnejšom jazyku. Napriek tomu je úloha na prvý pohľad zložitá. Po vymenovaní všetkých dvojciferných čísel vytvorených pomocou 4 kameňov: 40, 31, 22 a 13 je riešenie zrejmé. Žiaci získajú skúsenosť, že ak úlohu rozdelia na čiastkové kroky, získajú hlbší pohľad na problém. Potom prichádzajú podobné úlohy s väčším počtom kameňov a väčšími rozdielmi.
Úloha 4:
Dalším cílem úloh z prostředí Kameny je připravit žáky na porozumění kritériím dělitelnosti. Cílem uvedené úlohy je jednak mnohé počítání, ale také získávání zkušeností se společnými črty čísel dělitelných třemi. Žáci zjistí, že přidáním jednoho kamene se jim nepodaří vytvořit žádné číslo, které lze dělit třemi beze zbytku (mohou vytvořit čísla 311, 221, 212). Ubráním jednoho kamene mohou vytvořit čísla: 210, 201, 111 a ty lze všechna dělit třemi beze zbytku.
Později přichází úlohy Která trojciferná čísla vymodelována pomocí šesti kamenů jsou dělitelná 3? Která trojciferná čísla vymodelována pomocí devíti kamenů jsou dělitelná 3? a s nimi také další zkušenosti s čísly dělitelnými třemi. Po několika pokusech žáci zjistí, že každé rozložení např. šesti kamenů do tabulky dá číslo dělitelné 3. Třída začne hledat takové rozložení kamenů, aby číslo nebylo dělitelné třemi. Hledání je neúspěšné. V třídní diskuzi postupně zjišťují, že všechna čísla vytvořená ze šesti kamenů jsou dělitelná třemi. Zákonitost objevili, ale její zdůvodnění zatím neznají. To zjistí později, když trojciferné číslo ABC přepíší do tvaru 100A + 10B + C. To se rovná (99A + 9B) + A + B + C. První závorka je jistě dělitelná třemi. Tedy celé číslo je dělitelné třemi, když číslo A + B + C je dělitelné třemi. V našem případě A + B + C je 6 (kamenů). Učitel postupně může měnit počet kamenů, rozšiřovat tabulku o řád tisíců, statisíců apod. Žáci experimentují a když mají dost zkušeností, objeví, že čísla dělitelná třemi jsou ta složená ze 3, 6, 9 atd. kamenů. Tím vlastně objeví a pojmenují kritérium dělitelnosti číslem 3.
5. ročník
Úloha 5:
Pokračujeme v rozšiřování zkušeností potřebných pro vyvození kritérii dělitelnosti i jinými čísly než číslem 3. Žáci zjistí, že třemi jsou dělitelná všechna čísla a dvěma ta, kde na místě jedniček není žádný kámen, 2 kameny nebo 4 kameny.
O niečo neskôr nasleduje analogický problém: Ktoré trojciferné čísla modelované pomocou šiestich kameňov sú deliteľné 6? Ak si študent všimne, že riešenie pre obe úlohy je rovnaké, zdieľa svoje zistenia s triedou.
Úloha 6:
Úlohy sa opakujú v rôznych variáciách, aby študenti mali viac príležitostí získať potrebné skúsenosti na odvodenie pravidiel deliteľnosti alebo na uplatnenie už objaveného pravidla.
Úloha 7:
Cieľom úlohy je získať skúsenosti potrebné na odvodenie kritérií deliteľnosti 9.
My sme použili prostredie kamene na zápis čísla v desiatkovej sústave
Video: Rozklad čísla v desiatkovej sústave - YouTube
Pomôcka na doma: vyrob si tabuľku na výkres podobnú tejto a podľa návodu z hodiny môžeš použiť na miesto kameňov fazuľky alebo hrach alebo korálky
|
1 |
10 |
100 |
1000 |
10000 |
100000 |
1000000 |
10000000 |
100000000 |
1000000000 |
|
........ |
|
|
|
|
... |
.. |
|
|
|
Príklad : Zapíš číslo 2 300 008 v desiatkovej sústave.
Najprv si vyjadri číslo pomocou kameňov do tabuľky ako na obrázku.
Následne zapíš matematickým zápisom.
Príklady na precvičenie:
Urči počet jednotiek, desiatok, stoviek, atď. Vyplň tabuľku.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
3 879 031 165 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
76 421 980 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
987 432 006 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
2 504 034 698 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
65 450 219 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
842 105 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
9 453 219 507 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Žiak zažíva svoje prvé stretnutie s číselnou osou v prostredí schodov.
Žiaci riešia veľa problémov pohybom po číselnej osi, ale nazývajú to šliapaním po schodoch alebo na bežiacom páse s číslami. Týmto skúsenostiam predchádza mnoho skúseností získaných z riešenia úloh v Steppingu, a teda na bežiacom páse bez čísel.
1. ročník
Úloha 1:
Žiak zažíva svoje prvé stretnutie s číselnou osou v prostredí schodov. Obrázok ukazuje schody a po splnení úloh na skutočných schodoch ich žiaci modelujú v triede ako odrazový pás s číslami.
Žiaci riešia veľa problémov pohybom po číselnej osi, ale nazývajú to šliapaním po schodoch alebo na bežiacom páse s číslami. Týmto skúsenostiam predchádza mnoho skúseností získaných z riešenia úloh v Steppingu, a teda na bežiacom páse bez čísel.
Úloha 2:
V prostredí Schody sa riešia náročnejšie úlohy, ktoré dávajú deťom dobrú skúsenosť, ktorú môžu využiť pri práci s číselnou osou. V 1. ročníku uprednostňujeme tento variant (sémantizovanej) číselnej osi, to znamená, že čísla vyjadrujú "meno" / "adresu" kroku. Okrem toho žiaci získavajú skúsenosti prostredníctvom skúseností, t. j. pohybom vlastného tela.
Žiaci sa stretávajú s obvyklou formou číselnej osi, kde sú čísla už abstraktné, až v 2. ročníku.
2. ročník
Úloha 3:
V týchto úlohách žiaci absolvujú číselný rad a uvedomia si jeho lineárne usporiadanie a rovnakú vzdialenosť medzi susednými číslami. Čísla sú v abstraktnej forme, ale keď študent poukáže na to, že je to rovnaké ako schody, učiteľ túto myšlienku podporuje. To je dôležité pre vytvorenie sémantickej myšlienky abstraktného konceptu, ktorý je predpokladom dobrého porozumenia.
Úloha 4:
Táto úloha búra predsudky, že číselná os musí ísť iba zľava doprava.
Aj v 2. ročníku žiaci riešia veľké množstvo úloh v prostredí Stupňovanie a Schodiská.
Úloha 5:
Číselná os sa používa aj na meranie v milimetroch. Aby žiaci zistili vzdialenosti medzi číslami, je potrebné merať aspoň raz.
Žiaci môžu označiť všetky čísla na číselnej osi a zmerať požadované vzdialenosti. Je však výhodnejšie zmerať vzdialenosť dvoch susedných čísel (1 delenie) a potom vynásobiť príslušným číslom. Žiaci tak získavajú skúsenosti s priamou proporcionalitou. Z poznania dĺžky jedného kusu vypočítajú dĺžku napríklad siedmich kusov.
Úloha 6:
Ďalej sa číselná os používa na otvorenie myšlienky zaokrúhľovania. Rozdiel dvoch čísel je vizualizovaný vzdialenosťou dvoch bodov. Silne označené sú tie čísla, vzhľadom na ktoré budú čísla zaokrúhlené. Napríklad číslo 12 je bližšie k 10 ako 20, takže 12 bude zaokrúhlené na 10.
Úloha 7:
Naďalej otvárame myšlienku zaokrúhľovania čísel. Pásmový meter (napr. papier, skladanie, rolovanie) slúži ako vhodná pomôcka pri tejto činnosti.
Vo všetkých úlohách okrem poslednej je výsledok jednoznačný. O čísle 65 sa bude pravdepodobne diskutovať. Táto úloha má dve možné riešenia – číslo 60 a číslo 70. Z matematického hľadiska sú obe riešenia rovnaké, ani jedno nemožno uprednostniť. Zatiaľ necháme obe možnosti v hre, ale o niečo neskôr uzavrieme dohodu, ktorá sa bude zaoberať týmito dvoma možnosťami. Táto zmluva znie: Číslo, ktoré končí číslom 5, sa zaokrúhli nahor. Napríklad číslo 135 sa zaokrúhľuje na desiatky až 140.
Úloha 8:
Žiak môže použiť merania alebo označiť vzdialenosť medzi dvoma číslami, najlepšie susednými číslami, na kúsku papiera. Potom prenáša túto vzdialenosť. V úlohe b) má žiak viac možností, preto je užitočné hľadať viac spôsobov riešenia. Napríklad môže použiť vzdialenosť medzi 5 a 10, z ktorých nájde 0, od 0 a 2 nájde 4 a má dve po sebe idúce čísla 4 a 5. Alebo použije vzdialenosť medzi 2 a 5, z ktorých nájde 8 a potom z 10 nájde 7 a už má po sebe idúce čísla 7 a 8.
4. ročník
Úloha 9:
Při otevírání kognitivně náročnější látky, což jsou záporná čísla, se vracíme do sémantiky, tj. do krokování na schodech. Tímto způsobem se rozšiřuje i číselná osa o záporná čísla, jak je vidět v následující úloze.
Úloha 10:
Porozumění práci na číselné ose podporuje průběžné řešení velkého množství úloh v prostředí Krokování a Schodů.
Číselná osa je významnou pomůckou pro řešení úloh o věku. Např. Aničce jsou 3 roky. Až jí bude tolik, kolik je Honzíkovi, Honzíkovi bude 11 let. Kolik je dnes Honzíkovi.
5. ročník
Úloha 11:
Číselnú os, ktorá môže byť tiež reprezentovaná mierkou, možno použiť na sčítanie a odčítanie dvoch čísel, dokonca aj desatinných. Sčítanie/odčítanie je modelované ako grafický súčet/rozdiel dvoch čiar.
Práca na číselnej osi spolu s krokom pomáha pochopiť úlohy v prostredí mriežky, napr. pri odvodzovaní a práci so súradnicami bodov mriežky.
My sme použili prostredie číselná os na zavedenie celých čísel , na zaokrúhľovanie , na sčitovanie, odčitovanie, násobenie, delenie ale aj na predstavu o zlomkoch a iné
Hlavným cieľom prostredia Abaku je posilniť číselné (výpočtové) spojenia. Ide o spojenia typu 2 + 3 = 5, 4 + 6 = 10, násobiace spojenia atď. Ak žiak Vytvorí také kĺby, v budúcnosti mu to uľahčí prácu témy matematiky – napr. v rozširovaní a skrátení zlomkov. Je dôležité, aby Žiaci robili takéto školenie so záujmom, aby to necítili ako nudné, aby Bavil.
Prostredie Abaku je jedným z nových prostredí Hejného metódy. Vznikla vďaka prepojeniu s tímom Abaku (pani učiteľka Alena Vávrová a spol.), ktorý sa okrem metodiky zaoberá aj stolovou hrou Abaku (aj v online verzii). Viac informácií, pomôcok a elektronickú prihlášku Abaku nájdete na ich webových stránkach abaku.org. Aj keď sa naše nové prostredie líši v určitých pravidlách s Abaku, vo väčšine prípadov je to rovnaké. Okrem hlavného cieľa posilnenia výpočtových spojení sa chceme zamerať na ďalšie oblasti matematiky v životnom prostredí: ekvivalentnú modifikáciu rovníc, kombinatoriku, paritu (rovnomernosť, lichotenie) atď.
Prostredie vstupuje do učebníc na konci 1. ročníka. Úlohou žiakov je nájsť pravidlo, podľa ktorého čísla bývajú v byte a pripočítať čísla pred bytovým domom k voľným bytom. Viete nájsť pravidlo?
Pravdepodobne ste nemali problém zistiť, že ak sčítate dve čísla, dostaneme tretie číslo. Matematici tu hovoria o numerickej triáde a + b = c. Žiaci sa učia vidieť súvislosti ako 3 + 4 = 7, 2 + 5 = 7 atď.
Ich úlohou je ospravedlniť každú trojicu, napr. v ľavom hornom byte 6 = 5 + 1. Postupom času sa v triede 6 - 5 = 1 objaví ďalšie odôvodnenie. Vzhľadom na to, že poradie čísel v bytoch nie je pevne stanovené (žiaci si ich môžu ľubovoľne vymieňať), žiaci pracujú s dôležitými vzťahmi a + b = c → a = c – b alebo b = c – a.
V ďalšej úlohe majú žiaci možnosť splniť svoje trojčatá v posledných dvoch úlohách. To môže byť diagnostické pre učiteľov aj rodičov. Žiaci často vypĺňajú veľké počty, napr. 100, 100, 200. To ukazuje ich fascináciu a potrebu pracovať s takýmito číslami.
Ak sa neobjavilo viacciferné číslo, študenti ho dokončia v nasledujúcej úlohe s 9 a 6: problém má dve riešenia 3 alebo 15. V pilotných triedach žiaci uprednostňovali číslo 15 viac, pretože bolo pre nich prirodzenejšie pridávať pridelené čísla.
Doteraz mali žiaci slobodu vo vytváraní triád (trojíc). To znamená, že pri vytváraní rovnosti mohli ľubovoľne vymieňať čísla, napr. z čísel 3 6 9 mohli písať rovnosť v rôznych postupnostiach čísel: 3 + 6 = 9, 9 - 6 = 3, 9 = 6 + 3, 6 = 9 - 3 atď. V ďalšej úlohe sú čísla pevné.
Zafixování čísel je motivováno povídáním o vizitkách na zvoncích paneláku. Stejně jako v běžném životě nelze změnit pořadí příjmení Novák na např. Vánok, tak nelze měnit zadanou vizitku čísel. Čísla jsou napsána v pevném pořadí. Úkolem žáků je vložit mezi čísla rovnítko a početní operaci, aby byla rovnost pravdivá.
Úloha 1:
Jedná se o kombinatorickou úlohu, žáci zjišťují, jaké různé vizitky ze tří čísel lze vytvořit. Nebo-li jaké pořadí lze z daných tří čísel vytvořit, abychom vložením znaménka početní operace a rovnítka získali rovnost.
Úloha 2:
Zatím se v úlohách objevovalo sčítání a odčítání. V posledních dvou vizitkách se nyní objevuje příležitost k použití násobilky. Je to v době, kdy do učebnic přichází zavedení násobilky. Navíc, více žáků již často o násobilce ví z domova nebo od spolužáků.
Do abaku úloh vstupuje násobilka. Žáci opět toto pravidlo mají najít.
Stejně jako u sčítání žáci mají volnost k tvorbě úloh (pořadí číslic není fixováno). U levého horního bytu tak mohou vytvořit rovnosti jako . Tím žáci získávají zkušenosti s komutativitou násobení (). Najde se možná i žák, který navrhne zdůvodnění . Ve třídě učitel musí zvážit z reakcí žáků, jestli s tím má smysl pracovat nebo dělení odložit až na později, kdy bude operace zavedena.
Typologie úloh je stejná jako u úloh se sčítáním a odčítáním. V další úloze žáci zjišťují, zda se jedná o násobilkovou trojici.
Úloha 3:
Úloha 4:
Poté následují vizitky, kterými se opět fixuje pořadí čísel. Žáci tedy vkládají mezi čísla = a početní operaci, aby platila rovnost. První sloupec je na sčítání a odčítání, druhý na násobení (případně dělení).
Úloha 5:
Při doplňování vizitek učitel může sledovat, zda žáci preferují sčítání (odčítání) nebo násobení (dělení).
Úloha 6:
Do mesta Abaku prichádza nová vec – poznávacia značka Abaku. Na rozdiel od vizitiek sú 4 číslice pevné. Kombináciou dvoch číslic je možné vytvoriť dvojciferné čísla.
Cieľ problémov inak zostáva rovnaký, nahradiť = aritmetickú operáciu medzi danými číslami tak, aby sa vytvorila rovnosť.
Poznávacie značky sú motivované rovnakými úlohami od už spomínanej Mgr. Aleny Vávrovej. V jej triedach boli úlohy také populárne, že žiaci z vlastnej iniciatívy hľadali vizitky Abaku na autách v každodennom živote. Odfotografovali ich a vytvorili nástenku so "správnymi" poznávacími značkami. To tiež zlepšilo ich číselné pripojenie. V ideálnom prípade sa žiak zlepšuje, ak úlohy rieši vlastnou vnútornou motiváciou.
Po poznávacích značkách Abaku prichádzajú reťaze Abaku. Tieto už nie sú obmedzené počtom číslic. Žiaci hľadajú všetku rovnosť, dokonca aj čiastočnú. Preto už nie je potrebné vytvárať rovnosť so všetkými zadanými číslicami. Je to vidieť na obrázku 4, 3, 1, 2, jedna z rovnosti, i 3 – 1 = 2.
Postupne sa reťazce skladajú z viacerých čísel a úlohou je nájsť čo najviac rovnosti. Je pravda, že vždy sa používa jedno znamienko rovnosti a jedna aritmetická operácia. Čísla môžu byť cielene zvolené tak, aby vytvorili zdanlivo skryté riešenia – napr. v poslednom reťazci je možné vytvoriť rovnosť 15 = 69 – 54. Tieto úlohy sú medzi žiakmi obľúbené, učia sa číselné spojenia a bavia sa tým.
Pokúsite sa nájsť všetky riešenia v troch reťazcoch?
Úloha 7:
Sčitovanie a odčitovanieAk ste zabudli algoritmus nech sa páči video na zopakovanie
https://www.youtube.com/watch?v=HRFtOuEkSbc
https://www.matika.in/sk/#5
Veľmi zaujúmavé sú pyramídy alebo pre šikovnejších záhadné sčítanie.
Ponúkame návod ako riešiť pyramídy
Orientáciu v tabuľkách nacvičujeme na hre lodičky ak si chcete zahrať doma s rodičmi pridávam návod a hracie pole.
Životné prostredie má niekoľko didaktických cieľov:
Úloha 1:
Pred zavedením prostredia sčítacej tabuľky v druhom ročníku žiaci získavajú skúsenosti s úlohami s tabuľkou a orientáciou v nej. Napríklad zadanie sa pýta, čo bude v rámčeku 5. Študent nájde príslušný riadok a stĺpec a povie: "Žlté auto." To ich okrem iného pripravuje na súradnicový systém. Ďalšou populárnou aktivitou zameranou na súradnicový systém je napríklad hra Lode.
Úloha 2:
Úloha, v ktorej je zavedené prostredie tabuľky aditív. Žiaci vyplnia tabuľku súčtami príslušných čísel z hlavičky (vodorovnej a zvislej). Rovnako ako v predchádzajúcej úlohe sa tu objavuje myšlienka súradnicového systému (čísla v stĺpci a riadku navzájom porovnávame a sčítavame ich v príslušných poliach).
Keď študenti pochopia, ako funguje prostredie tabuľky sčítania ľudu, začnú problém riešiť. Nedá sa očakávať, že by im tieto výpočtové problémy mali spôsobiť nejaké problémy (pracujú s malým počtom). Cieľom úlohy bolo implementovať environmentálne pravidlá.
Úloha 3:
Úloha nie je náročná, jej náročnosť sa zvýšila iba použitím vyšších čísel.
Úloha 4:
Úloha je zložitejšia, pretože nie sú známe všetky čísla v hlavičke. Štyri chýbajúce čísla tabuľky je možné doplniť ihneď, pre zistenie piateho je potrebné vyplniť správne číslo v hlavičke (14 – 6 = 8).
Úloha 5:
Tentokrát chybí v záhlaví dvě čísla. Obě žáci spočítají (5 = 9 – 4 a 7 = 13 – 6), pak je úloha jednoduchá.
Úloha 6:
Žáci postupně doplňují čísla do tabulky. V prvním kroku lze doplnit čísla 12 = 9 + 3, 13 = 9 + 4 a 6 = 10 – 4. Ve druhém kroku další dvě čísla 9 = 6 + 3 a 5 = 11 – 6. Ve třetím kroku další dvě čísla 14 = 9 + 5 a 2 = 7 – 5. Nakonec zbylá dvě čísla prvního řádku 5 a 6. Žáci získávají zkušenosti s tím, že určité úlohy vyžadují přesnou posloupnost kroků k jejich vyřešení.
Úloha 7:
Přichází nový typ úloh, ve kterých žáci objevují zákonitosti mezi čísly tabulky. Žáci zjistí, že všechny součty vycházejí stejně. Nabízí se otázka proč? K tomu v první fázi dojde málo žáků. Ale pokud
podobných úloh vyřeší více, začnou tyto zákonitosti zdůvodňovat. Učitel se může dále ptát: „Dokážete v tabulce rozmístit modrá, červená a žlutá čísla jiným způsobem, aby součty barevných čísel byly opět stejné?“
Zdůvodnění, ke kterému úlohy směřují, vede ke komutativitě sčítání (např. 8 + 2 = 2 + 8). Pokud vezmeme červená čísla, jejich součty jsou postupně 8 + 2, 7 + 3, 6 + 4. Modrá čísla 8 + 3, 7 + 4, 6 + 2. Žlutá čísla 8 + 4, 7 + 2, 6 + 3. Součty všech červených, modrých a žlutých čísel obsahují stejná čísla. Názorně by to šlo ukázat již zmiňovanou komutativitou sčítání a postupným přeskládáním sčítanců.
Úloha 8:
Pokračujeme v novém typu úloh. Navíc se v těchto úlohách objevují myšlenky na tzv. počítání s výhodou. Pokud např. žák sčítá žlutá čísla (15 + 11 + 4), může to udělat více způsoby. Pokud hledá cestu, jak to udělat výhodně („aby se to dobře počítalo“), počítá s výhodou. V tomto případě by nejspíše sečetl druhé a třetí číslo 11 + 4 = 15 a získal by součet 15 + 15 = 30. To pravděpodobně bude pro většinu žáků snazší, než sečíst nejprve 15 + 11 = 26 a poté 26 + 4 = 30.
Úloha 9:
Pokračujeme v úlohách, ve kterých žáci odhalují zákonitosti v tabulce. Učitel může dávat další otázky: „Jak jinak by mohly být rozmístěné dvojice modrých a zelených čísel, aby součty byly stejné? Dokázal bys najít trojici (čtveřici) takových modrých a zelených čísel?“ Pro úlohou silně zaujatého žáka, lze cílit i na kombinatoriku (doporučujeme se ale vrátit k tabulce 3x3): „Devět polí tabulky rozdělte 3 barvami (každá je ve 3 polích). Čísla rozmístěte tak, aby součty např. zelených, modrých a oranžových čísel byly stejné. Kolik takových různých rozmístění lze udělat?“
Úloha 10:
Žiaci pokračujú v odhaľovaní vzťahov v grafe. Uvedomujú si, že tieto vzťahy nie sú viazané na zadané čísla (vodorovnú hlavičku si vyberajú sami) a sú vždy platné.
Úloha 11:
Aj v tejto úlohe môže byť kombinatorika zacielená rovnakou otázkou ako v úlohe 9.
Úloha 12:
Ak študent hovorí, že súčet červených a modrých políčok je rovnaký, môže dobre vidieť vzťahy v tabuľke. Ak chcete určiť konkrétny súčet, bude musieť najskôr vyplniť čísla v hlavičkách.
Úloha 13:
V treťom roku sa objavujú podobné úlohy, ktoré smerujú do nového prostredia Tabuľka 0 – 99. Obrázok zobrazuje jeho časť alebo zmenšenú tabuľku. Štvorica sa nazýva pekná. Na základe predchádzajúcich skúseností môže byť žiakom jasné, že súčty všetkých pekných štvoríc budú rovnaké. Ak nie, čoskoro objavia rovnakú myšlienku.
Úloha 14:
Opakujeme násobilku - ideálne je vedieť do budúcna naspamäť ale hladať rýchlo v tabuľke tiež veľmi pomôže.
|
3. cieľ november, december, január - 30 hodín Zbierať, zaznamenávať, usporiadať a triediť údaje, hľadať vhodnú organizáciu údajov, tvoriť jednoduché frekvenčné tabuľky a grafy a interpretovať výsledky.
|
5. Rozšírené nástroje na prácu s údajmi Pojmy Aktívne: aritmetický priemer. Pasívne: legenda tabuľky/grafu. Vzťahy Súvislosť medzi údajmi a aritmetickým priemerom.
|
|
4. cieľ Riešiť jednoduché kombinatorické a pravdepodobnostné situácie.
|
3. Rozšírené kombinatorické postupy a nástroje Pojmy Pasívne: možnosť, počet možností, systém.
4. Riešenie jednoduchých pravdepodobnostných situácií Pojmy Aktívne: isté, nemožné. Pasívne: pravdepodobné, nepravdepodobné, pravdepodobnosť.
|
|
2 písomná práca |
Témy: Tabuľky a grafy, aritmetický priemer, vypisovanie možností. Kombinatorické úlohy, pravdepodobnosť
|
Prostredie:
Deti majú rady stavebné kocky, radi skladajú rôzne vzory a mozaiky. Z blokov stavajú viacfarebné veže alebo kombinujú oblečenie pre bábiku. Chlapci a dievčatá prirodzene zistia, že z rovnakého počtu stavebných častí môžu postaviť nepreberné množstvo budov, že z rovnakej sady oblečenia a doplnkov pre bábiky ju môžu pripraviť na rôzne príležitosti, napríklad len výmenou topánok a ozdôb.
Nechceme, aby deti počítali, koľko rôznych možností majú, ale aby si hru užili, rozvíjali svoju kreativitu a hľadali rôzne možnosti. Staviame s deťmi, povzbudzujeme ich, aby vymieňali rôzne dieliky v stavebniciach, aby kombinovali oblečenie bábik.
Vystrihnite tri tričká (napr. biele, žlté a červené) a dva páry nohavíc (hnedé a modré). Opýtajte sa svojho dieťaťa, aby zistilo, ako môže kombinovať kúsky oblečenia. V pondelok si do škôlky oblečie modré nohavice a biele tričko. Čo si obliecť nasledujúci deň, aby ste boli oblečení inak. Koľko dní môžu byť zakaždým oblečení inak?
Zahráme si hru na interiérového architekta, ktorý má parkety určitého typu a má nimi pokryť podlahu. Dieťa skúša, aké má možnosti kladenia, aké rôzne vzory môže vytvoriť z parkiet. Ak chcete vytvoriť ďalšie úlohy, môžeme zmeniť farby parkiet, ich tvar, môžeme zvýšiť počet farieb alebo počet použitých tvarov. Úlohy sťažujeme nejakou podmienkou, napr. že rovnaká farba parkiet sa môže dotknúť iba rohu.
Hra na obkladačky: vystrihnite niekoľko štvorcov dvoch farieb – dlaždíc (namiesto toho môžete použiť aj dva typy pexesu) a nechajte dieťa skladať rôzne vzory. Tie je možné nakresliť na štvorčekový papier a porovnať, či sa niektorý z nich opakuje.
Prinášame hľadanie rôznych možností do reálneho života. Deti s nami chodia nakupovať a za nákupy radi zaplatia. Použijeme to, aby sme vás vyzvali.
Úloha 1: Čokoláda stojí 24 Kč. V peňaženke máte len päť a dve koruny. Koľkými spôsobmi môžete zaplatiť za čokoládu? Zapíšte si svoje riešenia do tabuľky (počet mincí môžete zaznamenať pomocou čísel alebo čiarok):
Úloha 2: Koľkými spôsobmi môžete zaplatiť za rovnakú čokoládu, keď máte v peňaženke ďalších desať korún? Vytvorte a dokončite tabuľku podobnú tabuľke v úlohe 1.
Úloha 3: Pozrite sa na rôzne spôsoby, ako zaplatiť za dve rovnaké čokolády, keď máte v peňaženke všetky druhy českých mincí.
S deťmi si zahráme hru "hlavy alebo chvosty" a necháme ich hádať, čo príde častejšie. Môžeme si všimnúť výsledky a preskúmať, či jedna strana mince bude padať častejšie. Podobne môžeme hodiť kockou.
Hod mincou alebo kockou je veľmi dôležitý ako príprava na témy pravdepodobnosti a štatistiky. Pokiaľ ide o tieto témy v škole, "dieťa" je príliš staré na manipulatívne aktivity a často nemá čas ani chuť vykonať skutočný experiment s mincou alebo kockou. Bez tejto skúsenosti študent nezažije pravdepodobnosť.
Úloha 4: Hodte kockou. Rolujte desaťkrát a zaznamenajte čísla valcované. Koľkokrát sa objavilo párne číslo a koľkokrát nepárne číslo? Pokračujte v hádzaní a urobte 50, 100, 200 pokusov. Bude sa častejšie objavovať párne alebo nepárne číslo? Je to len náhoda?
Úloha 5: Zo záznamov predchádzajúcej úlohy určite, či sa číslo, ktoré je násobkom troch alebo iné číslo, valcovalo častejšie.
Úloha 6: Hodte dve kocky a spočítajte počet stehov. V tabuľke vyplňte pole nad príslušným číslom. Ak hodíte 1 a 4, súčet je 5, takže zafarbíte pole nad piatimi. Hádajte, ako bude graf zafarbený po 100 hodoch a skontrolujte presnosť svojho odhadu s niekoľkými priateľmi.
Úloha 7:
a) Pre ktoré čísla v tabuľke je stĺpec najvyšší?
b) Pre ktoré čísla v tabuľke je stĺpec najnižší?
c) Sú predchádzajúce výsledky úplne náhodné?
Úloha 8: Keď som prišiel navštíviť svoju kamarátku Denise, nevedeli sme sa rozhodnúť, kam ísť na prechádzku. Na obrázku je znázornená mapa štvrte, v ktorej Denisa žije. Dohodli sme sa, že hodíme mincou na každej križovatke. Ak hlavy (p) spadnú, na križovatke odbočte doprava a ak chvosty (o) spadnú, odbočte doľava.
Prvý deň sme padli p, o, o, p, o a išli sme do parku.
a) Kde skončíme, ak spadneme: o, p, p, p, o?
b) Čo musíme hodiť, aby sme sa dostali k rieke?
c) Takto sme chodili dva týždne, raz denne.
Urobte tiež 14 prechádzok a zaznamenajte do grafu, kam idete.
d) Existuje miesto, ktoré navštevujeme častejšie? Ak áno, prečo?
|
5. cieľ február, marec, apríl - 50 hodín Analyzovať zložitejšie geometrické útvary v rovine a priestore, využívať polohové a metrické vlastnosti útvarov pri riešení jednoduchých geometrických úloh.
|
1. Jednoduché rovinné geometrické útvary, vlastnosti a vzťahy Pojmy Aktívne: trojuholník (vrcholy a strany), štvoruholník (vrcholy, strany a uhlopriečky), štvorec, obdĺžnik, susedné strany, protiľahlé strany, uhlopriečka; kružnica, kruh, stred, polomer, priemer, polkruh, štvrťkruh; stred úsečky, os úsečky, rovnobežky, rôznobežky, priesečník, kolmice Pasívne: polrovina, rovina, opačné polpriamky; päta kolmice; mnohouholník, rovnobežník, rôznobežník.
2. Jednoduché priestorové geometrické útvary, vlastnosti a vzťahy Pojmy Aktívne: kocka, kváder (steny, vrcholy a hrany), valec, kužeľ, ihlan, guľa, hranatý, oblý. Pasívne: sieť kocky, kvádra, telesa; pohľad zhora, spredu, zboku, plán stavby z kociek; súradnice bodu.
3. Práca s uhlom a operácie s uhlami Pojmy Aktívne: uhol, vrchol, ramená, ostrý, pravý, tupý a priamy uhol. Pasívne: os uhla.
4. Rozšírené postupy merania a určovania miery Pojmy Aktívne: dĺžka úsečky, dĺžka strany, jednotky dĺžky (mm, cm, dm, m, km); obvod, obsah. Pasívne: obsah v jednotkovej štvorcovej sieti; objem ako počet jednotkových kociek.
|
|
3 písomná práca- koniec apríla |
Témy: kolmice, rovnobežky, rovinné útvary, uhol, telesá, obvod obsah
|
Prostredie:
Teraz predstavíme prostredie, v ktorom deti získajú veľa skúseností Geometrické útvary, ich vlastnosti a vzťahy medzi v ktorom sú schopní ľahko argumentovať a odvodzovať pravidlá.
Manipulatívna skúsenosť na pochopenie 2D geometrie
Teraz predstavíme prostredie, v ktorom deti získajú veľa skúseností s geometrickými útvarmi, ich vlastnosťami a vzťahmi medzi nimi, v ktorom majú možnosť ľahko argumentovať a dedukovať pravidlá. Skúsenosti, ktoré prechádzajú rukami, sú cenné.
Začnime teda manipuláciami na geoboarde. Geoboard je doska s 9 (alebo viacerými) kolíkmi rozloženými v štvorci 3 × 3 (4 × 4, 5 × 5, ...). Na kolíky naťahujeme farebné gumičky a vytvárame rôzne vzory.
S množstvom aktivít, ktoré predstavíme nižšie pre žiakov 1.−2. Ročník, dokonca aj deti predškolského veku môžu začať. Dôležité je, že dieťa "myslí rukami" a rozpoznáva koncepty, ktoré sa neskôr nazývajú mnohouholník, vrchol, strana, uhlopriečka atď. Začíname voľnou tvorbou. Žiaci sa hrajú s geoboardom a vytvárajú rôzne vzory.
Hovoríme o nich. Deti používajú metaforický jazyk - vyzerá to ako
dom, ako zobák atď. Dospelý neopravuje deti, ale snaží sa
používať správne výrazy sám. Deti ho potom postupne prevezmú.
Tieto štyri tvary budú pokryté úlohami 1 až 7.
Úloha 1: Vytvárajte tvary na geodoske jeden po druhom podľa obrázka.
Pri kopírovaní tvaru na geodosku dieťa začne tvar vnímať hlbšie. Už nestačí, že vyzerá ako šíp, ale vníma jeho vlastnosti, napr. má päť vrcholov, strany rôznych dĺžok, pravé uhly, gumičku dotýkajúcu sa piatich kolíkov atď. Dieťa analyzuje tvar tak, ako kopíruje.
Časté diskusie sú o druhom modrom obrázku. Je to kosoštvorec alebo štvorec? Dieťa vidí štvorec "zasadený na kosu". Geoboard však umožňuje otáčať tvar, takže študenti sa dozvedia, že názov tvaru nezávisí od jeho polohy. Vidí, že je to štvorec.
Následující série úloh směruje naši pozornost na pojem délka úsečky a obsah obrazce, jednotka obsahu a odhalení způsobu, jak určit obsah útvaru bez vzorečku.
Úloha 2: Modrý tvar rozděl na dvě stejné části. Totéž udělej se žlutým i zeleným tvarem.
Úloha 3: Ke žlutému trojúhelníku přidej hnědý trojúhelník tak, aby oba trojúhelníky dohromady tvořily čtverec.
Úloha 4: K červenému trojúhelníku přidej hnědý trojúhelník tak, aby oba trojúhelníky dohromady tvořily trojúhelník, který je zvětšením trojúhelníka žlutého (tj. trojúhelník pravoúhlý, rovnoramenný).
Úloha 5: Červený trojúhelník má tři strany a zelený pětiúhelník jich má pět. Uspořádej tyto strany od nejkratší po nejdelší.
Úloha 6: Představ si, že máš trojúhelníkový kachlík, který se přesně vejde do žlutého trojúhelníka. Kolik takových kachlíků je třeba na pokrytí a) modrého čtverce, b) zeleného pětiúhelníku?
Z geoboardu přecházíme na čtvercovou mříž. Z kolíků se staly mřížové body a obrazcům budeme říkat mřížové – mřížový trojúhelník atd. Při hře Telefon děti popisují mřížové obrazce jakoby někomu do telefonu. Pak dostanou výzvu, aby zapsaly obrazce pomocí znaků. Po několika pokusech a diskusích se objeví šipkový zápis mřížového obrazce, neboť jazyk šipek znají děti z Krokování.
Na obrázku je trojúhelník KLM, který je zapsán pomocí šipek takto:
K →→↑ L ↑← M ←↓↓ K.
Zápis čteme: Začínám v bodě K, udělám dva kroky vpravo, jeden nahoru a zde označím bod L. Z bodu L pokračuji krok nahoru, krok doleva a zde je bod M. Pro kontrolu z M udělám jeden krok doleva a dva dolů, jsem opět v K. Narýsuji úsečku KL, LM a také MK.
Úloha 7: Tři šipkové zápisy popisují tři obrazce z obrázku nad první úlohou. Vrcholy nejsou popsány písmeny, pouze označeny tečkami. Najdi je a doplň šipkový zápis čtvrtého obrazce.
Úloha 8: Zjisti obsah žlutého, modrého i červeného trojúhelníku na obrázku. Žáci snadno zjistí, že modrý trojúhelník má obsah 2 kachlíky, protože je to polovina celého čtverce a ten má obsah 4 kachlíky. Žlutý trojúhelník je polovina obdélníku s obsahem 2 kachlíky, tedy má obsah 1 kachlík.
Pak některý žák objeví klíčovou myšlenku: červený trojúhelník získáme, když od čtverce (4 kachlíky) „odřízneme“ modrý a žlutý trojúhelník.
Tedy pro výpočet obsahu platí: 
. Obsah červeného trojúhelníku je jeden kachlík.
Následující úlohy jsou přípravou na objev Pythagorovy věty.
Úloha 10: Je dána úsečka AB šipkovým zápisem
a) A →↑ B
b) A →→↑ B
c) A →→→↑ B
d) A →…→↑ B (tři tečky znamenají, že šipek doprava bude libovolně)
Nakresli ji v mříži a dorýsuj čtverec ABCD.
Dopiš šipkový zápis čtverce a spočítej jeho obsah.
Powered by aSc EduPage